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14-09-2008, 22:28:40
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 Poliedros sin triedros Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente tres aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com  |
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| Re: Poliedros sin triedros On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: > Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente tres > aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. > > -- > Saludos, > > Ignacio Larrosa Cañestro > A Coruña (España) > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada vértice, se tiene 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. Saludos, José H. Nieto |
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16-09-2008, 00:32:25
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| Re: Poliedros sin triedros On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: > Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente tres > aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. > > -- > Saludos, > > Ignacio Larrosa Cañestro > A Coruña (España) > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada vértice, se tiene 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. Saludos, José H. Nieto |
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| Re: Poliedros sin triedros On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: > Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente tres > aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. > > -- > Saludos, > > Ignacio Larrosa Cañestro > A Coruña (España) > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada vértice, se tiene 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. Saludos, José H. Nieto |
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| Re: Poliedros sin triedros jhnieto***gmail.com wrote: > On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: >> Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente >> tres aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. >> >> -- >> Saludos, >> >> Ignacio Larrosa Cañestro >> A Coruña (España) >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com > > Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - > A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Si, desde luego, falta especificar lo de euleriano. > Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces > > 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde > 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. > Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada > vértice, se tiene > 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces > > C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. > Una forma parecida de verlo es, llamando V_i al número de vértices con i aristas (V_3 = 0 por el enunciado), C = C_3 + C_4 + C_5 + .... V = V_4 + V_5 + .... 2A = 3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + .... 2A = 4*V4 + 5*V_5 + ... Aplicando la relación de Euler, C + V = A + 2 ===> 4*C + 4*V = 4*A + 8 4*C + 2*V - 2*A - 2*A = 8 8 = 4(C_3 + C_4 + C_5 + ....) + 4(V_4 + V_5 + ....) - (3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + ....) - (4*V4 + 5*V_5 + ...) = C_3 - (C_5 + 2*C_6 + ...) - (V_5 + 2V_6 + ...) ===> C_3 = 8 + (C_5 + 2*C_6 + ...) + (V_5 + 2V_6 + ...) >= 8 La igualdad se da en el octaedro, claro. (Competición Israel-Hungría 1996) -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com |
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16-09-2008, 08:20:02
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| Re: Poliedros sin triedros jhnieto***gmail.com wrote: > On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: >> Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente >> tres aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. >> >> -- >> Saludos, >> >> Ignacio Larrosa Cañestro >> A Coruña (España) >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com > > Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - > A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Si, desde luego, falta especificar lo de euleriano. > Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces > > 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde > 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. > Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada > vértice, se tiene > 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces > > C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. > Una forma parecida de verlo es, llamando V_i al número de vértices con i aristas (V_3 = 0 por el enunciado), C = C_3 + C_4 + C_5 + .... V = V_4 + V_5 + .... 2A = 3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + .... 2A = 4*V4 + 5*V_5 + ... Aplicando la relación de Euler, C + V = A + 2 ===> 4*C + 4*V = 4*A + 8 4*C + 2*V - 2*A - 2*A = 8 8 = 4(C_3 + C_4 + C_5 + ....) + 4(V_4 + V_5 + ....) - (3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + ....) - (4*V4 + 5*V_5 + ...) = C_3 - (C_5 + 2*C_6 + ...) - (V_5 + 2V_6 + ...) ===> C_3 = 8 + (C_5 + 2*C_6 + ...) + (V_5 + 2V_6 + ...) >= 8 La igualdad se da en el octaedro, claro. (Competición Israel-Hungría 1996) -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com |
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| Re: Poliedros sin triedros jhnieto***gmail.com wrote: > On 14 sep, 17:28, "Ignacio Larrosa Cañestro" > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote: >> Un poliedro no tiene ningún vértice en el que concurran exactamente >> tres aristas. Probar que debe tener al menos 8 caras triangulares. >> >> -- >> Saludos, >> >> Ignacio Larrosa Cañestro >> A Coruña (España) >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com > > Supongamos el poliedro convexo, o al menos euleriano, es decir que V - > A + C = 2 (de lo contrario el resultado no es cierto). Si, desde luego, falta especificar lo de euleriano. > Sea C_i el número de caras con i lados. Entonces > > 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 +... = 2A, de donde > 2A >= 3C_3 + 4(C - C_3) = 4C - C3 y C_3 >= 4C - 2A. > Por otro lado, si n_i es el número de aristas que concurren en cada > vértice, se tiene > 4V <= n_1+n_2+... = 2A. Entonces > > C_3 >= 4C - 2A = 4(2+A-V) - 2A = 8 + 2A - 4V >= 8. > Una forma parecida de verlo es, llamando V_i al número de vértices con i aristas (V_3 = 0 por el enunciado), C = C_3 + C_4 + C_5 + .... V = V_4 + V_5 + .... 2A = 3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + .... 2A = 4*V4 + 5*V_5 + ... Aplicando la relación de Euler, C + V = A + 2 ===> 4*C + 4*V = 4*A + 8 4*C + 2*V - 2*A - 2*A = 8 8 = 4(C_3 + C_4 + C_5 + ....) + 4(V_4 + V_5 + ....) - (3*C_3 + 4*C_4 + 5*C_5 + ....) - (4*V4 + 5*V_5 + ...) = C_3 - (C_5 + 2*C_6 + ...) - (V_5 + 2V_6 + ...) ===> C_3 = 8 + (C_5 + 2*C_6 + ...) + (V_5 + 2V_6 + ...) >= 8 La igualdad se da en el octaedro, claro. (Competición Israel-Hungría 1996) -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com |
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