Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:

a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000

demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.

Saludos.

On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> Saludos.

Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces

Suma(x_i,i=1..16) = 0,

y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,

S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.

Ahora si algún x_i>75/4 entonces

Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S

15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= (Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,

Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que

Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto

Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.

Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
para i = 1..16.

Saludos,

José H. Nieto

On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> Saludos.

Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces

Suma(x_i,i=1..16) = 0,

y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,

S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.

Ahora si algún x_i>75/4 entonces

Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S

15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= (Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,

Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que

Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto

Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.

Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
para i = 1..16.

Saludos,

José H. Nieto

On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> Saludos.

Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces

Suma(x_i,i=1..16) = 0,

y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,

S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.

Ahora si algún x_i>75/4 entonces

Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S

15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= (Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,

Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que

Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto

Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.

Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
para i = 1..16.

Saludos,

José H. Nieto

On 16 sep, 00:08, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>
> > Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> > a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> > a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> > demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> > Saludos.
>
> Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces
>
> Suma(x_i,i=1..16) = 0,
>
> y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,
>
> S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.
>
> Ahora si algún x_i>75/4 entonces
>
> Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S
>
> 15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= ***(Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,
>
> Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que
>
> Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto
>
> Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.
>
> Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
> para ***i = 1..16.
>
> Saludos,
>
> José H. Nieto

Bueno,se puede hacer también por la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

Saludos.

On 16 sep, 00:08, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>
> > Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> > a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> > a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> > demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> > Saludos.
>
> Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces
>
> Suma(x_i,i=1..16) = 0,
>
> y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,
>
> S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.
>
> Ahora si algún x_i>75/4 entonces
>
> Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S
>
> 15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= ***(Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,
>
> Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que
>
> Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto
>
> Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.
>
> Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
> para ***i = 1..16.
>
> Saludos,
>
> José H. Nieto

Bueno,se puede hacer también por la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

Saludos.

On 16 sep, 00:08, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> On 15 sep, 06:43, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>
> > Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> > a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> > a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>
> > demostrar que ninguno de los a(i) excede de 25.
>
> > Saludos.
>
> Pongamos x_i = a(i) - 25/4. Entonces
>
> Suma(x_i,i=1..16) = 0,
>
> y como x_i = (a(i)-25/4)^2 = a(i)^2 - 25/2*a(i) + (25/4)^2,
>
> S(x_i^2,i=1..16) = 1000 - 1250 + 625 = 375.
>
> Ahora si algún x_i>75/4 entonces
>
> Suma(x_j: x_j < 0) < -75/4, de donde por C-S
>
> 15*Suma(x_j^2: x_j < 0) >= ***(Suma(x_j: x_j < 0)^2 > (75/4)^2, i.e.,
>
> Suma(x_j^2: x_j < 0) > 375/16, mientras que
>
> Suma(x_j^2: x_j > 0) >= 75^2/16 y por lo tanto
>
> Suma(x_j^2: j=1..16) > 75*(5+75)/16 = 375, absurdo.
>
> Por lo tanto x_i <= 75/4 y a(i) <= 75/4 + 25/4 = 25
> para ***i = 1..16.
>
> Saludos,
>
> José H. Nieto

Bueno,se puede hacer también por la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>

Restando a la 2ª 10 veces la primera

sum(a(i)^2-10a(i)) = 0

Sumando 16*25 queda

sum((a(i)-5)^2) = 400

|a(i) - 5| <= 20 para todo i

por tanto ningún a(i) puede ser mayor que 25.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>

Restando a la 2ª 10 veces la primera

sum(a(i)^2-10a(i)) = 0

Sumando 16*25 queda

sum((a(i)-5)^2) = 400

|a(i) - 5| <= 20 para todo i

por tanto ningún a(i) puede ser mayor que 25.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sean a(1),a(2),...,a(16) números reales no negativos tales que:
>
> a(1) + a(2) + ··· + a(16) = 100
> a(1)^2 + a(2)^2 + ··· + a(16)^2 = 1000
>

Restando a la 2ª 10 veces la primera

sum(a(i)^2-10a(i)) = 0

Sumando 16*25 queda

sum((a(i)-5)^2) = 400

|a(i) - 5| <= 20 para todo i

por tanto ningún a(i) puede ser mayor que 25.

--

Antonio