Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...

Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
los números en zigzag son

3412, 1423, 2413, 1324, 2314

Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n cifras
acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para k=1 son 0).

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> los números en zigzag son
>
> 3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> k=1 son 0).

Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n, que
acaban en k, y

Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)

Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
= 0

(excepto Z(1, 1) = 1)

Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0

Además

Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)

Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n

Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)

pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, pasando el 2
al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
le precede (solo una u otra opción es posible).

Y de momento no se me ocurre nada más ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> los números en zigzag son
>
> 3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> k=1 son 0).

Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n, que
acaban en k, y

Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)

Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
= 0

(excepto Z(1, 1) = 1)

Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0

Además

Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)

Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n

Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)

pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, pasando el 2
al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
le precede (solo una u otra opción es posible).

Y de momento no se me ocurre nada más ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> los números en zigzag son
>
> 3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> k=1 son 0).

Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n, que
acaban en k, y

Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)

Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
= 0

(excepto Z(1, 1) = 1)

Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0

Además

Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)

Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n

Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)

pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, pasando el 2
al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
le precede (solo una u otra opción es posible).

Y de momento no se me ocurre nada más ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
> Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n,que
> acaban en k, y
>
> Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)
>
> Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
> = 0
>
> (excepto Z(1, 1) = 1)
>
> Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0
>
> Además
>
> Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)
>
> Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n
>
> Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)
>
> pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, ***pasandoel 2
> al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
> le precede (solo una u otra opción es posible).
>

> Y de momento no se me ocurre nada más ...
>


Algo más:

Z(2n,2n)=Z(2n-1)

Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.

Z(2n+1,1)=Z(2n)

Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
dígito y se añade 1 al final.

Que junto con lo tuyo:

Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)

Z(2n,2)=Z(2n-2)




Jordi

On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
> Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n,que
> acaban en k, y
>
> Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)
>
> Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
> = 0
>
> (excepto Z(1, 1) = 1)
>
> Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0
>
> Además
>
> Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)
>
> Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n
>
> Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)
>
> pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, ***pasandoel 2
> al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
> le precede (solo una u otra opción es posible).
>

> Y de momento no se me ocurre nada más ...
>


Algo más:

Z(2n,2n)=Z(2n-1)

Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.

Z(2n+1,1)=Z(2n)

Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
dígito y se añade 1 al final.

Que junto con lo tuyo:

Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)

Z(2n,2)=Z(2n-2)




Jordi

On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
> Sea Z(n, k) el número permutaciones en zig-zag de los números a1 a n,que
> acaban en k, y
>
> Z(n) = Sum(Z(n, k), k, 1, n)
>
> Si n es impar, el último par debe ser decreciente, por lo que Z(2n+1, 2n+1)
> = 0
>
> (excepto Z(1, 1) = 1)
>
> Si n es par, el último par debe ser creciente, por lo que Z(2n, 1) = 0
>
> Además
>
> Z(2n+1, 2n) = Z(2n, 2n)
>
> Pues el número 2n+1 solo se puede colocar justo antes del 2n
>
> Z(2n, 2) = Z(2n-1, 1)
>
> pues las que acaban en 2 se obtienen de las que acababan en 1, ***pasandoel 2
> al final, colocando el 2n en su lugar y permutándolo con el que le sigue o
> le precede (solo una u otra opción es posible).
>

> Y de momento no se me ocurre nada más ...
>


Algo más:

Z(2n,2n)=Z(2n-1)

Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.

Z(2n+1,1)=Z(2n)

Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
dígito y se añade 1 al final.

Que junto con lo tuyo:

Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)

Z(2n,2)=Z(2n-2)




Jordi

On 16 Set, 13:21, Loki <diesjoripac...***gmail.com> wrote:
> On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> > Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
>
> Algo más:
>
> Z(2n,2n)=Z(2n-1)
>
> Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.
>
> Z(2n+1,1)=Z(2n)
>
> Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
> dígito y se añade 1 al final.
>
> Que junto con lo tuyo:
>
> Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)
>
> Z(2n,2)=Z(2n-2)
>

Del mismo modo:

Z(2n,2n-1)=Z(2n-1)

Se incrementa 2n a 2n+1 y se añade 2n al final. ( Z(2n-1,2n-1)=0 )

Z(2n+1,2)=Z(2n)

Se incrementa una unidad en todos los dígitos excepto 1 y se añade 2
al final. ( Z(2n,1)=0 )

Resumen:

Z(n,1) = 0, si n es par
Z(n-1), si n es impar

Z(n,2) = Z(n-1), si n es impar
Z(n-2), si n es par

Z(n,n-1) = Z(n-2), si n es impar
Z(n-1), si n es par

Z(n,n) = 0, si n es impar mayor que 1
Z(n-1), si n es par

Observación: Esto no es consistente para n=2.

Jordi

On 16 Set, 13:21, Loki <diesjoripac...***gmail.com> wrote:
> On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> > Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
>
> Algo más:
>
> Z(2n,2n)=Z(2n-1)
>
> Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.
>
> Z(2n+1,1)=Z(2n)
>
> Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
> dígito y se añade 1 al final.
>
> Que junto con lo tuyo:
>
> Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)
>
> Z(2n,2)=Z(2n-2)
>

Del mismo modo:

Z(2n,2n-1)=Z(2n-1)

Se incrementa 2n a 2n+1 y se añade 2n al final. ( Z(2n-1,2n-1)=0 )

Z(2n+1,2)=Z(2n)

Se incrementa una unidad en todos los dígitos excepto 1 y se añade 2
al final. ( Z(2n,1)=0 )

Resumen:

Z(n,1) = 0, si n es par
Z(n-1), si n es impar

Z(n,2) = Z(n-1), si n es impar
Z(n-2), si n es par

Z(n,n-1) = Z(n-2), si n es impar
Z(n-1), si n es par

Z(n,n) = 0, si n es impar mayor que 1
Z(n-1), si n es par

Observación: Esto no es consistente para n=2.

Jordi

On 16 Set, 13:21, Loki <diesjoripac...***gmail.com> wrote:
> On 16 Set, 12:20, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> > Antonio González wrote:
> > Este se remonta a Euler, así que un respeto por los clásicos...
>
> > Un número en zigzag es uno de n cifras 1,...,n (si hace falta se
> > extiende la base) ordenadas de forma que sucesivamente crecen y
> > decrecen, siendo el primer par creciente. Por ejemplo, para 4 cifras,
> > los números en zigzag son
>
> > ***3412, 1423, 2413, 1324, 2314
>
> > Dar un procedimiento para calcular cuántos números en zigzag de n
> > cifras acaban en la cifra k (por ejemplo, para n=4, k=4 son 2 y para
> > k=1 son 0).
>
>
> Algo más:
>
> Z(2n,2n)=Z(2n-1)
>
> Como los impares terminan decreciendo, basta añadir el 2n al final.
>
> Z(2n+1,1)=Z(2n)
>
> Como los pares terminan creciendo, se incrementa en una unidad cada
> dígito y se añade 1 al final.
>
> Que junto con lo tuyo:
>
> Z(2n+1,2n)=Z(2n-1)
>
> Z(2n,2)=Z(2n-2)
>

Del mismo modo:

Z(2n,2n-1)=Z(2n-1)

Se incrementa 2n a 2n+1 y se añade 2n al final. ( Z(2n-1,2n-1)=0 )

Z(2n+1,2)=Z(2n)

Se incrementa una unidad en todos los dígitos excepto 1 y se añade 2
al final. ( Z(2n,1)=0 )

Resumen:

Z(n,1) = 0, si n es par
Z(n-1), si n es impar

Z(n,2) = Z(n-1), si n es impar
Z(n-2), si n es par

Z(n,n-1) = Z(n-2), si n es impar
Z(n-1), si n es par

Z(n,n) = 0, si n es impar mayor que 1
Z(n-1), si n es par

Observación: Esto no es consistente para n=2.

Jordi