¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que alguien
me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas o así.
=:O

* O'Flaherty:
> ¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que alguien
> me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas o así.
> =:O

Nop
Esta en la pila de pendientes. Una de esas pilas que va subiendo porque
el cuerpo no acompaña. Como las saetas, vamos. Mi Bertolucci es el del
Ultimo Tango, me temo. Peazo peliculón. Lo vi de estreno una semana
santa del año 78, y aunque parezca mentira, en el cine Guelbenzu de
Pamplona. Y no quemaron el cine ni nada the others (Me gusta Lost, sip).
Pero me las vi putas para que me dejaran entrar. En Perpiñan se estrenó
en el 72, creo. No estoy seguro.

El último tango no la he visto. Toda su fama me ha parecido derivar de la
mantequilla, que no me gusta nada. ;-)

Pero si te ves las del 900 avisa y comenta, jo.


"Alb" <jm_larumbeNONONO***yahoo.es> escribió en el mensaje
news:frui19$3b0$1***localhost.localdomain...
* O'Flaherty:
> ¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que alguien
> me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas o así.
> =:O

Nop
Esta en la pila de pendientes. Una de esas pilas que va subiendo porque
el cuerpo no acompaña. Como las saetas, vamos. Mi Bertolucci es el del
Ultimo Tango, me temo. Peazo peliculón. Lo vi de estreno una semana
santa del año 78, y aunque parezca mentira, en el cine Guelbenzu de
Pamplona. Y no quemaron el cine ni nada the others (Me gusta Lost, sip).
Pero me las vi putas para que me dejaran entrar. En Perpiñan se estrenó
en el 72, creo. No estoy seguro.

Interpretación geométrica de la derivada parcial




Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el
punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la
superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre
el plano . De manera semejante, el plano vertical interseca a la
superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .


Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la
pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es la gráfica
de la función así que la pendiente de su tangente en el punto es



En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la
curva C


Figura 1: derivada parcial en P respecto a x
[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]
Figura 1: derivada parcial en P respecto a y
[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]








Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse
geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas
y en el punto , respectivamente.


Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio.
Si , entonces representa la razón de cambio de con respecto a , cuando
permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio de
con respecto a , cuando permanece fija.




Ejemplo


Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la
intersección del paraboloide y el plano , cuando .


Solución


En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por




con lo cual, la recta es : , pero pasa por el punto y así




En la figura 1 se muestra la recta tangente y la parábola


Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:






La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran
en la figura 2.





Figura 3: Tangente en P
[Ver en 3D - Jview]
Figura 4: Tangente en P






Ejemplo 8


El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las
ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto .


Solución


La ecuación define a implícitamente como una función de e , entonces :






Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por




Pero como la recta tangente pasa por el punto , entonces






De donde su ecuación es : ; y sus ecuaciones paramétricas son







Figura 3: Tangente en P
[Ver en 3D - Jview]




Observación : si es una función de dos variables e , entonces sus
derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo
que podemos considerar sus derivadas parciales y , las cuales cuales se
llaman segundas derivadas parciales de Si , utilizamos la siguiente
notación :





















La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego
con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.




Ejemplo 9






Calcule las segundas derivadas parciales de


Solución


Las primeras derivadas parciales están dadas por :








Entonces tenemos que :
















Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo
anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los
casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el
matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo
las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.




Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

Sea una función escalar donde es un disco abierto con centro en y
radio , entonces si las funciones y son continuas en entonces










Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir
como




y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que si estas
funciones son continuas.


Ejemplo 10


Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar
leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial




se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 -
1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y
desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con
conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que
la función satisface la ecuación de Laplace.


Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por








con lo cual








de donde




Ejemplo 11


La ecuación de onda




donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser
una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de
una cuerda vibrante.


Si y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe
que la función





satisface la ecuación de onda.




Solución


Las derivadas de con respecto a están dadas por :







Las derivadas de con respecto atestan dadas por :








Sustituyendo obtenemos que





Ejemplo 12


Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable,
compruebe que la función





satisface la ecuación diferencial parcial





Solución


Las derivadas de con respecto a están dadas por :




















Sustituyendo





Ejemplo 13


Si se dijera que existe una función cuyas derivadas parciales son y ¿
usted lo creería?


Solución


Por el teorema de Clairaut, puesto que y son continuas en todo
debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.




Ejemplo 14


Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y
de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante
minutos, su temperatura en grados centígrados esta dada por



con

Trace la gráfica de para y




Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de
temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una
tiene el signo que tiene.




Calcule ¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de
temperatura?

Solución



La gráfica de las funciones y se muestran en la figura 2.



Figura 6



Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de
la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más
caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo
izquierdo (! !).





La derivada parcial respecto a esta dada por y al evaluar obtenemos que



como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva para
cualquier valor de concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues
las pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más
pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo
izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos
en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra)
la temperatura aumenta.


Por otro lado,




observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente
conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la
temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes
a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando
estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la
derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo
(hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye.


Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con
claridad lo explicado antes.


0 254.16 58.7785
10 93.5003 21.6234
20 34.3968 7.95641
30 12.6539 2.92641
40 4.65511 1.07657
50 1.71252 0.39605

0 -254.16 58.7785
10 -93.5003 21.6234
20 -34.3968 7.95641
30 -12.6539 2.92641
40 -4.65511 1.07657
50 -1.71252 0.39605










La derivada parcial respecto a está dada por

Observe que para y cualquier valor de y para y cualquier valor de
lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero
hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero,
es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.





Ejemplo 15


Las ecuaciones





definen a y como funciones de las variables independiente e . Exprese
en términos de y .


Solución


Para calcular derivemos las ecuaciones (4) respecto a








Ahora usemos la regla de Cramer para hallar




















De donde















"O'Flaherty" <bot-azu***hotmail.com> wrote in
news:fruhbj$138$1***nsnmrro2-gest.nuria.telefonica-data.net:

> ¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que
> alguien me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas
> o así. =:O
>
>
>

Alb <jm_larumbeNONONO***yahoo.es> wrote in news:frui19$3b0$1
***localhost.localdomain:

> * O'Flaherty:
>> ¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que al
> guien
>> me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas o así.
>> =:O
>
> Nop
> Esta en la pila de pendientes. Una de esas pilas que va subiendo porque
> el cuerpo no acompaña. Como las saetas, vamos. Mi Bertolucci es el del
> Ultimo Tango, me temo. Peazo peliculón. Lo vi de estreno una semana
> santa del año 78, y aunque parezca mentira, en el cine Guelbenzu de
> Pamplona. Y no quemaron el cine ni nada the others (Me gusta Lost,
sip).
> Pero me las vi putas para que me dejaran entrar. En Perpiñan se estrenó
> en el 72, creo. No estoy seguro.
>

* O'Flaherty:
> El último tango no la he visto. Toda su fama me ha parecido derivar de la
> mantequilla, que no me gusta nada. ;-)

Nah
Eso es lo de menos.
Es una película, la película, sobre la soledad urbana y la desesperación
de no estar solos y el Amor con mayúsculas. Brando se llevó un oscar muy
merecido. Te la recomiendo vivamente... para ver en compañía.
}:->

"O'Flaherty" <bot-azu***hotmail.com> wrote in
news:fruhvt$2do$1***nsnmrro2-gest.nuria.telefonica-data.net:

> El último tango no la he visto. Toda su fama me ha parecido derivar de
> la mantequilla, que no me gusta nada. ;-)
>
> Pero si te ves las del 900 avisa y comenta, jo.
>
>
> "Alb" <jm_larumbeNONONO***yahoo.es> escribió en el mensaje
> news:frui19$3b0$1***localhost.localdomain...
> * O'Flaherty:
>> ¿Alguien se ha chupao NOVECENTO del Bertoluchi al completo? Es que
>> alguien me ha amenazado con que la tiene y tal. Y me habla de 5 horas
>> o así. =:O
>
> Nop
> Esta en la pila de pendientes. Una de esas pilas que va subiendo
> porque el cuerpo no acompaña. Como las saetas, vamos. Mi Bertolucci es
> el del Ultimo Tango, me temo. Peazo peliculón. Lo vi de estreno una
> semana santa del año 78, y aunque parezca mentira, en el cine
> Guelbenzu de Pamplona. Y no quemaron el cine ni nada the others (Me
> gusta Lost, sip). Pero me las vi putas para que me dejaran entrar. En
> Perpiñan se estrenó en el 72, creo. No estoy seguro.
>
>
>